| I notice that some foreigners visited. So I will give you brief introduction in English for English title. Euler-Heisenberg Lagrangian will be explained in the series of postings. In this time, you can find original paper of Euler & Heisenberg and its English version by Korolevski & Kleinert. Schwinger's classic, 'On Gauge Invariance and Vaccum Polarization' & applications of EH Lagrangian will be briefly summarized in next time. Today's contents; [1]. Technical things to evaluate eigenvalue of EM tensor. [2]. Basic use of Mathematica for [1]. Beside difficulty of Korean, you can understand what's going on by sequences of formulas. |
유효이론을 공부하게 되면서 첫번째로 만나게 된 것은 하이젠베르크(Heisenberg)와 그의 제자 오일러(Euler)가 1936년에 발표한 Euler-Heisenberg 라그랑지안이다.
원논문은 W. Heisenberg and H. Euler, Folgerungen aus der Diracschen Theorie des Positrons Z. Phys. 98, 714 (1936)이며, W. Korolevski와 H. Kleinert가 번역하여 영어 버전(Consequences of Dirac Theory of the Positron :arXiv:physics/0605038)을 쉽게 찾아 읽을 수 있다.
이 이론에 대한 자세한 내용과 J.Schwinger의 방법(On Gauge Invariance and Vacuum Polarization, Phys.Rev.82,664, 1951)에 대한 설명은 다음 포스팅으로 미루기로 하고, Electromagnetic Tensor의 고유값을 구하다가 (Schwinger,1951)을 통해 배운 기교를 소개하려고 한다.
(참고로 이 슈윙거는 물리를 모르는 사람들도 아는 파인만, 그리고 토모나가 신이치로와 같이 노벨상(1965)을 받은 사람이다. 정말 대단한 사람! 저 논문의 인용수는 구글 기준 5421회이다.)
(참고로 이 슈윙거는 물리를 모르는 사람들도 아는 파인만, 그리고 토모나가 신이치로와 같이 노벨상(1965)을 받은 사람이다. 정말 대단한 사람! 저 논문의 인용수는 구글 기준 5421회이다.)
고유값에 대한 내용은 고등학교 수학만으로도 이해할 수 있으니 끈기를 가지고 읽어주시길...
일단 식을 기술하는 notation은 다음과 같다.
$$
\eta_{\mu \nu}=\eta^{\mu \nu}=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&-1&0 \\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}
$$$$
\epsilon^{0123}=1=-\epsilon_{0123}
$$
\eta_{\mu \nu}=\eta^{\mu \nu}=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&-1&0 \\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}
$$$$
\epsilon^{0123}=1=-\epsilon_{0123}
$$
[참고]
\(\eta\)를 이용하여 첨자를 올리고 내릴 수 있다.
ex)
\(A^{\mu \nu}=\eta^{\mu a}{A_{a}}^{\nu}=\eta^{\mu a}A_{ab}\eta^{b\nu}\)
|
E-H 라그랑지안을 유도하는데 있어서 중요한 관건은 \(\mathbf{F}\equiv F_{\mu \nu}\)일 때 아래의 요상한 항을 계산하는 것이다.
$$
\mathrm{tr}[\mathrm{ln}(\frac{\mathrm{sinh}[es\mathbf{F}]}{es\mathbf{F}})]
$$
\mathrm{tr}[\mathrm{ln}(\frac{\mathrm{sinh}[es\mathbf{F}]}{es\mathbf{F}})]
$$
Trace에 log에 행렬에 대한 \(\mathrm{sinh}(x)\)라니!
일단 \(\mathbf{F}\)의 고유값을 구해야만 했다.
\(\mathbf{F}\)는 \(
A_{\mu}=(\phi, -\vec{A}), F_{\mu \nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}\)로부터 구할 수 있다.
$$F_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}
0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\ E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\ E_{y}&B_{z}&0&-B_{x} \\ E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0
\end{pmatrix}$$
A_{\mu}=(\phi, -\vec{A}), F_{\mu \nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}\)로부터 구할 수 있다.
$$F_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}
0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\ E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\ E_{y}&B_{z}&0&-B_{x} \\ E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0
\end{pmatrix}$$
| 고유값 문제는 \( F_{\mu \nu}\xi^{\nu}=\lambda\xi_{\mu}=\lambda\eta_{\mu \nu}\xi^{\nu} \)에서 \(\lambda\)를 구하는 것이다. |
다른 사람 같으면 어떻게 풀까?
나는 고등학생 때처럼 \(
Det[\mathbf{F}-\lambda\mathbf{\eta}]=0
\)을 계산했다.
Det[\mathbf{F}-\lambda\mathbf{\eta}]=0
\)을 계산했다.
4x4 행렬의 엄청난 행렬식을 계산하니 짜증도 나고 손도 아팠다.
결과는 다행히 간단했다!
$$\lambda^{4}+2\mathfrak{f}\lambda^{2}-\mathfrak{g}^{2}=0$$
이 방정식의 해는 복소수의 개념을 안다면 중학교 2학년도 풀 수 있다.
$$
\lambda=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}[\sqrt{\mathfrak{f}+i\mathfrak{g}}\pm\sqrt{\mathfrak{f}-i\mathfrak{g}}]
$$
\lambda=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}[\sqrt{\mathfrak{f}+i\mathfrak{g}}\pm\sqrt{\mathfrak{f}-i\mathfrak{g}}]
$$
여기서 저 이상한 f와 g는 바로....
\(
\mathfrak{f}=\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}=-\frac{1}{4}{(FF)_{\mu}}^{\mu}
=-\frac{1}{4} tr[\mathbf{F \eta F \eta}]=\frac{1}{2}(B^{2}-E^{2})\)
\(
\mathfrak{g}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}G^{\mu\nu}=\frac{1}{4}tr[\mathbf{F \eta G \eta}]=\vec{E}\cdot\vec{B}
\)
\mathfrak{f}=\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}=-\frac{1}{4}{(FF)_{\mu}}^{\mu}
=-\frac{1}{4} tr[\mathbf{F \eta F \eta}]=\frac{1}{2}(B^{2}-E^{2})\)
\(
\mathfrak{g}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}G^{\mu\nu}=\frac{1}{4}tr[\mathbf{F \eta G \eta}]=\vec{E}\cdot\vec{B}
\)
(이것들은 워낙 유용한 물리량이라 모르면 안되는데 막상 부호를 확인해보려면 귀찮다.)
결국 답은 구했지만 (Schwinger, 1951)을 읽다가 엄청 재미있는 풀이를 알게 되었는데, EM tensor를 최대한 이용하는 것이었다.
\(F_{\mu \nu}\)의 dual인 \(\mathbf{G}\equiv G_{\mu \nu}=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}F^{\rho \sigma}\)를 구해보자.
$$G_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}
0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\ B_{x}&0&E_{z}&-E_{y}\\ B_{y}&-E_{z}&0&E_{x} \\ B_{z}&E_{y}&-E_{x}&0
\end{pmatrix}$$
0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\ B_{x}&0&E_{z}&-E_{y}\\ B_{y}&-E_{z}&0&E_{x} \\ B_{z}&E_{y}&-E_{x}&0
\end{pmatrix}$$
이들은 다음의 특이한 성질들을 만족한다.
$$F_{\mu\nu}G^{\nu\lambda}=\mathfrak{g}{\eta_{\mu}}^{\lambda}\\
G_{\mu\nu}G^{\nu\lambda}-F_{\mu\nu}F^{\nu\lambda}=2\mathfrak{f}{\eta_{\mu}}^{\lambda}$$
첫번째 식을 통해서 \(\mathbf{G}\)의 고유값을 구할 수 있고,두번째 식을 통해서 고유값에 대한 방정식을 구할 수 있다.G_{\mu\nu}G^{\nu\lambda}-F_{\mu\nu}F^{\nu\lambda}=2\mathfrak{f}{\eta_{\mu}}^{\lambda}$$
좀 더 자세히 설명하면,
1) 첫번째 식
\(G^{\mu\nu}(F_{\nu\lambda}\xi^{\lambda})=(F_{\lambda\nu}G^{\nu\mu})\xi^{\lambda}=(\mathfrak{g}{\eta_{\lambda}}^{\mu})\xi^{\lambda}=\mathfrak{g}\xi^{\mu}\)
그런데 \(F_{\mu \nu}\xi^{\nu}=\lambda\xi_{\mu}=\lambda\eta_{\mu \nu}\xi^{\nu}\)의 정의로부터 \(G^{\mu\nu}(F_{\nu\lambda}\xi^{\lambda})=\lambda(G^{\mu\nu}\xi_{\nu})\).
$$
\therefore G^{\mu\nu}\xi_{\nu}=\frac{\mathfrak{g}}{\lambda}\xi^{\mu}
$$
2) 두번째 식
\(
(G_{\mu\nu}G^{\nu\lambda}-F_{\mu\nu}F^{\nu\lambda})(\xi_{\lambda})=G_{\mu\nu}(\frac{\mathfrak{g}}{\lambda}\xi^{\nu})-F_{\mu\nu}(\lambda\xi^{\nu})=((\frac{\mathfrak{g}}{\lambda})^{2}-\lambda^{2})\xi^{\mu}=2\mathfrak{f}\xi^{\mu}
\)
$$
\therefore \lambda^{4}+2\mathfrak{f}\lambda^{2}-\mathfrak{g}^2=0
$$
아까 위에서 계산한 고유값 방정식을 더 재미있게(멋있게) 구했다!
이를 교육적인(나 스스로에게도) 이유로 Mathematica를 이용하여 계산해보았다.
1) \(\mathbf{F}\)와 \(\mathbf{G}\)를 입력하기
2) 고유값 방정식 구하기
식이 복잡하지만 손으로 푸는 것보다 훨씬 낫고,
\(\mathfrak{f}\)와 \(\mathfrak{g}\)으로 정리가 된다는 것은 모를래야 모를수가 없다.
3) \(\mathfrak{f}\)와 \(\mathfrak{g}\) 구해보기
4) \(F_{\mu\nu}G^{\nu\lambda}=\mathfrak{g}{\eta_{\mu}}^{\lambda}\)와 \(G_{\mu\nu}G^{\nu\lambda}-F_{\mu\nu}F^{\nu\lambda}=2\mathfrak{f}{\eta_{\mu}}^{\lambda}\)를 확인해보기
앞으로는 훨씬 더 Mathematica를 자주 사용하려고 한다!
고등학생 때부터 이런 tool들을 체험해보는 것이 좋을 것 같다.
태어나서 처음으로 LaTex을 많이 입력해보았다. 너무너무 지친다.
행렬 관련해서 에러가 너무 많이 나서 시간도 많이 쓰고 힘들었다.
결국 해결책은 에러가 나는 코드를 메모장에 붙여넣고 다시 복사해서
입력하는 것이었다. 아마 HTML 코드 때문인 듯 하다.
여튼 다음 포스팅은 좀 더 물리적인 이야기로.
