냉장고에 램프가 달려 있는 이유는,
그것이 발명품이기 때문이다.
-물 마시고 싶은 새벽에.
Saturday, February 28, 2015
Friday, February 27, 2015
심규선(Lucia) / 음반이 오다.
서울에서 살면서 가장 좋은 점을 뽑으라면 총알배송일 것이다.
지방에서 살 때랑은 정말 차원이 다르다!
엊그제 새벽에 민트샵에서 주문한 음반을 받았다.
저번에 소개한 Herz Analog의 2nd EP[여름밤]과 1st Album[Herz Analog],
그리고 이번에 소개할 심규선(Lucia)의 2nd Album[Light & Shade Chapter.1].
헤르쯔 아날로그의 2nd EP는 200장 한정 발매라서 싸인이 있는데,
이렇게 좋은 작품이 200장도 안팔렸다니 정말 속상하다.
1st Album의 경우, 'Analog'답게 가사를 손으로 쓴 노트를 스캔하여
앨범을 만든게 너무 이쁘고 인상 깊다. 물론 2nd EP도 너무너무 이쁘다.
여튼 이번에 소개할 가수는 심규선(Lucia).
Youtube에서 놀다가 발견하게 되었고 지금은 매일매일 듣는다.
자꾸만 빨려 들어가게 되는 이 사람 특유의 분위기가 있다.
타이틀 곡은 두개인 것 같은데,
여기서는 그 중 하나인 '데미안'을 들려주고 싶다.
여운이 깊다.
<한사람>이라는 곡도 너무 좋다.
다음은 클래식 곡을 소개해봐야겠다.
지방에서 살 때랑은 정말 차원이 다르다!
엊그제 새벽에 민트샵에서 주문한 음반을 받았다.
저번에 소개한 Herz Analog의 2nd EP[여름밤]과 1st Album[Herz Analog],
그리고 이번에 소개할 심규선(Lucia)의 2nd Album[Light & Shade Chapter.1].
헤르쯔 아날로그의 2nd EP는 200장 한정 발매라서 싸인이 있는데,
이렇게 좋은 작품이 200장도 안팔렸다니 정말 속상하다.
1st Album의 경우, 'Analog'답게 가사를 손으로 쓴 노트를 스캔하여
앨범을 만든게 너무 이쁘고 인상 깊다. 물론 2nd EP도 너무너무 이쁘다.
여튼 이번에 소개할 가수는 심규선(Lucia).
Youtube에서 놀다가 발견하게 되었고 지금은 매일매일 듣는다.
자꾸만 빨려 들어가게 되는 이 사람 특유의 분위기가 있다.
타이틀 곡은 두개인 것 같은데,
여기서는 그 중 하나인 '데미안'을 들려주고 싶다.
여운이 깊다.
다음은 클래식 곡을 소개해봐야겠다.
Euler-Heisenberg Lagrangian (2) - Schwinger Proper Time Method
In Schwinger's classic, On Gauge Invariance and Vacuum Polarization(Phys.Rev.82,664, 1951), One mysterious formula appeared.
In the paper, you can derive this formula, but one cannot understand why we have to used expectation value of current '\(\left \langle j(x) \right \rangle\)' instead of current '\(j(x)\)'. For this reason, We will derive (2.32) by integrating out '\(\psi(x)\), Dirac field', the main ingredient of QED(Quantum Electrodynamics).
Keep in mind the concept of Effective theory(not 1PI Effective action).
$$
\int \mathcal{D}A\mathcal{D}\bar{\psi}\mathcal{D}\psi\mathrm{exp}\left [i\int d^{4}x \left \{-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar{\psi}(i(\partial\!\!\!/-ieA\!\!\!/)-m)\psi \right \} \right ]\\
=\int \mathcal{D}A \mathrm{exp} \left[i\int d^{4}x S_{eff}[A_{\mu}]\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(1)
$$
I will make further assumption that \(F_{\mu\nu}\) is constant, \(i.e.\), constant \(\vec{E}\) & \(\vec{B}\).
Do not confuse: \(A_{\mu}\) is not constant because of the fact \(F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}\).
Let's perform (1).
\(
\int \mathcal{D}\bar{\psi}\mathcal{D}\psi \mathrm{exp}\left[i\int d^{4}x \bar{\psi}(iD\!\!\!/-m)\psi \right]=\mathrm{Const.}\times \ \ \mathrm{Det}[iD\!\!\!/-m]
\)
\(
\therefore \ \ S_{eff}=\int d^{4}x \mathcal{L}_{eff}[A_{\mu}]=\int d^{4} x [-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}]-i \mathbf{Tr}[\mathrm{ln}(iD\!\!\!/-m)]
\) up to constant term.
The fact that \(\mathrm{Det}[A]=\mathrm{exp}[\mathrm{tr}(\mathrm{ln}A)]\) was exploited. Trace(\(\mathbf{Tr}\)) must be evaluated on states(\( \int d^{4}x \left \langle x| \ \ |x \right \rangle \)) and Dirac indices(\(tr\)): \(\mathbf{Tr}[f(x)]=\int d^{4}x \left \langle x|\mathrm{tr}[f(x)]|x \right \rangle \).
\(
\therefore \ \ \mathcal{L}_{eff}[A_{\mu}]=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-i\ \ \mathrm{tr} \left \langle x|\mathrm{ln}(iD\!\!\!/-m)]|x \right \rangle
\)
We can calculate trace term directly, but I will use trick by using property of logarithm.
\(
\frac{d}{d m} \mathcal{L}_{eff}=i \ \ \mathrm{tr}[\langle x |\frac{1}{i D\!\!/ \ \ -\ \ m} | x \rangle]=-i \ \ \mathrm{tr} \langle x| \frac{i D\!\!/ \ \ +\ \ m}{D\!\!/ ^2\ \ +\ \ m^2}|x \rangle\)
\(
=-i m \langle x|\frac{1}{D\!\!/ ^2\ \ +\ \ m^2}|x \rangle =m \int_{0}^{\infty} ds \ \ \mathrm{tr} \langle x| \mathrm{exp}\left[ -is m^{2}-i s D\!\!\!/ ^{2} \right]|x \rangle
\)
The fact that odd number of gamma matirces are traceless and Schwinger parametrization was used.
Rest things are just integrate over \(m\) and follow (Schwinger, 1951) keeping your notation.
I postponed posting about 'applications of EH Langrangian' to the next(final) posting.
\(
{\mathcal{L}}^{(1)}(x)=\frac{1}{2}i\int_{0}^{\infty}ds s^{-1} \mathrm{exp}(-ims^{2})\mathrm{tr}\left \langle x|U(s)|x \right \rangle\), (2.32) where \(U(s)=\mathrm{exp} \left[-i((p-eA)^{2}-\frac{1}{2}e\sigma_{\mu\nu}F^{\mu\nu})\right] \) |
In the paper, you can derive this formula, but one cannot understand why we have to used expectation value of current '\(\left \langle j(x) \right \rangle\)' instead of current '\(j(x)\)'. For this reason, We will derive (2.32) by integrating out '\(\psi(x)\), Dirac field', the main ingredient of QED(Quantum Electrodynamics).
Keep in mind the concept of Effective theory(not 1PI Effective action).
$$
\int \mathcal{D}A\mathcal{D}\bar{\psi}\mathcal{D}\psi\mathrm{exp}\left [i\int d^{4}x \left \{-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar{\psi}(i(\partial\!\!\!/-ieA\!\!\!/)-m)\psi \right \} \right ]\\
=\int \mathcal{D}A \mathrm{exp} \left[i\int d^{4}x S_{eff}[A_{\mu}]\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(1)
$$
If you are not familiar with path integral, here are some references.
I. J.J.Sakurai, J.Napolitano, "Modern Quantum Mechanics", 122-129.
II. A.Zee, "Quantum Field Theory in a Nutshell", 7-12.
III. B.Desai, "Quantum Mechanics with Basic Field Theory", 473-478
IV. F.Mandl, G.Shaw, "Quantum Field Theory", 285-292
V. A.Altland, B.Simons, "Condensed Matter Field Theory", 95-155
|
I will make further assumption that \(F_{\mu\nu}\) is constant, \(i.e.\), constant \(\vec{E}\) & \(\vec{B}\).
Do not confuse: \(A_{\mu}\) is not constant because of the fact \(F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}\).
Let's perform (1).
\(
\int \mathcal{D}\bar{\psi}\mathcal{D}\psi \mathrm{exp}\left[i\int d^{4}x \bar{\psi}(iD\!\!\!/-m)\psi \right]=\mathrm{Const.}\times \ \ \mathrm{Det}[iD\!\!\!/-m]
\)
Grassmann algebra was used.
You can master(not in the mathematical precise way) Grassmann algebra by referring
I. A.Zee, "Quantum Field Theory in a Nutshell"
II. F.Mandl, G.Shaw, "Quantum Field Theory"
III. A.Altland, B.Simons, "Condensed Matter Field Theory"
IV. M.Nakahara, "Geometry, Topology and Physics" |
\(
\therefore \ \ S_{eff}=\int d^{4}x \mathcal{L}_{eff}[A_{\mu}]=\int d^{4} x [-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}]-i \mathbf{Tr}[\mathrm{ln}(iD\!\!\!/-m)]
\) up to constant term.
The fact that \(\mathrm{Det}[A]=\mathrm{exp}[\mathrm{tr}(\mathrm{ln}A)]\) was exploited. Trace(\(\mathbf{Tr}\)) must be evaluated on states(\( \int d^{4}x \left \langle x| \ \ |x \right \rangle \)) and Dirac indices(\(tr\)): \(\mathbf{Tr}[f(x)]=\int d^{4}x \left \langle x|\mathrm{tr}[f(x)]|x \right \rangle \).
\(
\therefore \ \ \mathcal{L}_{eff}[A_{\mu}]=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-i\ \ \mathrm{tr} \left \langle x|\mathrm{ln}(iD\!\!\!/-m)]|x \right \rangle
\)
We can calculate trace term directly, but I will use trick by using property of logarithm.
\(
\frac{d}{d m} \mathcal{L}_{eff}=i \ \ \mathrm{tr}[\langle x |\frac{1}{i D\!\!/ \ \ -\ \ m} | x \rangle]=-i \ \ \mathrm{tr} \langle x| \frac{i D\!\!/ \ \ +\ \ m}{D\!\!/ ^2\ \ +\ \ m^2}|x \rangle\)
\(
=-i m \langle x|\frac{1}{D\!\!/ ^2\ \ +\ \ m^2}|x \rangle =m \int_{0}^{\infty} ds \ \ \mathrm{tr} \langle x| \mathrm{exp}\left[ -is m^{2}-i s D\!\!\!/ ^{2} \right]|x \rangle
\)
The fact that odd number of gamma matirces are traceless and Schwinger parametrization was used.
* Schwinger Parametrization$$
\frac{i}{A+i \epsilon}=\int_{0}^{\infty} ds \ \ e^{is (A+i \epsilon)} $$ |
Rest things are just integrate over \(m\) and follow (Schwinger, 1951) keeping your notation.
I postponed posting about 'applications of EH Langrangian' to the next(final) posting.
Wednesday, February 25, 2015
Tex으로 만든 첫번째 문서
\(\LaTeX{}\)을 본격적으로 사용해보기로 했다.
몇가지 문법을 공부한 뒤에 문서를 만들었는데 여백이 너무 넓어 마음에 들지 않았다.
내 힘으로는 도저히 여백을 바꿀 수가 없어서 geometry 패키지의 힘을 빌려보기로 했다.
그리하여 내 생애 Tex으로 만든 최초의 문서를 창조해냈다.
깨끗이 출력되니 기분이 너무 좋았다.
나처럼 처음에 어려워 하는 사람들이 있을 것이므로 쉽게 긁어갈 수 있게 해놓았다.
몇가지 문법을 공부한 뒤에 문서를 만들었는데 여백이 너무 넓어 마음에 들지 않았다.
내 힘으로는 도저히 여백을 바꿀 수가 없어서 geometry 패키지의 힘을 빌려보기로 했다.
그리하여 내 생애 Tex으로 만든 최초의 문서를 창조해냈다.
깨끗이 출력되니 기분이 너무 좋았다.
나처럼 처음에 어려워 하는 사람들이 있을 것이므로 쉽게 긁어갈 수 있게 해놓았다.
\documentclass{article}
\usepackage[left=2.5cm,right=2.5cm,top=3cm,bottom=3cm,a4paper]{geometry}
\author{\bf{Next Generation}\\
Nextgenerationthph.blogspot.kr}
%저자, \bf는 두꺼운 서체
\title{\bf{Hello, LaTex!}}
%제목
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
This is my first document by using LaTex.
\end{abstract}
%초록
\tableofcontents
%목차는 section, subsection 등을 읽고 알아서 만들어준다.
\section{Section 1}
%섹션 1 제목
Hahahahaha
\section{Section 2}
%섹션 1 제목
I am happy! ;)
참고로 한글은 an 써진다.
\end{document}
|
Tuesday, February 24, 2015
헤르쯔 아날로그(Herz Analog)
Sunday, February 22, 2015
표 만들기
표를 이용하면 좀 더 읽기 쉬운 글을 쓸 수 있을 것 같아서 표 만드는 방법을 공부해 보았다.
[HMTL 예시]
<table align="left" style="width: 580px;">
<tbody>
<tr><td style="border: 2px solid #cd3778;"><div style="text-align: center;">
표 만들기
</div>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
[출력 결과]
표의 정렬: table align
표의 너비: width
테두리: border
#cd3778: 테두리 색코드 (자세한 코드는... link)
글의 정렬: text-align
[HMTL 예시]
<table align="left" style="width: 580px;">
<tbody>
<tr><td style="border: 2px solid #cd3778;"><div style="text-align: center;">
표 만들기
</div>
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[출력 결과]
표 만들기
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#cd3778: 테두리 색코드 (자세한 코드는... link)
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